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Linear Algebra笔记(5):20-26   特征值与特征向量 特殊矩阵等等各种经典求法

AI人工智能学习 尔雅学习君 3年前 (2020-02-12) 扫描二维码
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特征值与特征向量

一、定义

当一个矩阵乘法不改变一个向量的方向、只改变其长度时,我们可以表示为

Ax=λx

其中λ为该矩阵的一个特征值,x为该矩阵的一个特征向量

二、特殊矩阵

对于奇异矩阵A

Ax=0时,

A的零空间不为0,因此零中间中的向量即为A的特征向量,对应的特征值为0

对于投影矩阵P

若x在A的列向量上,那么Px=x,此时x为P的特征向量,特征值为1

对于单位矩阵I

任意向量为特征向量,且特征值为1

 

三、特征值的一些性质

1.n阶方阵A,必有n个特征值(可重复)

2.一个矩阵所有特征值的和,等于该矩阵的迹(未经过初等变换时对角线元素之和);所有特征值的积,等于该矩阵的行列式值。

3.上三角矩阵中(未经过初等变换),对角线元素即为该矩阵的特征值。

4.矩阵越接近对称矩阵,矩阵的特征值越接近实数;矩阵越接近反对称(即A转置=-A),矩阵的特征值越接近虚数。

注:初等变换会导致矩阵特征值的改变

 

四、求特征值和特征向量的方法:

由于Ax=λx

所以(A-λI)x=0,即A-λI矩阵为奇异矩阵(零空间不为0),即行列式为0

所以我们先求出A-λI矩阵,再求det(A-λI)=0时λ的值

求出特征值后,再通过A-λI的零空间求出特征向量

五、方阵对角化

 

对于n阶方阵A可对角化的充要条件是A有n个线性无关特征向量

若A有n个线性无关特征向量,我们将特征向量分别称作

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我们将这n个特征向量组成特征向量矩阵S,那么Linear Algebra笔记(5):20-26   特征值与特征向量 特殊矩阵等等各种经典求法
所以,我们可以将A分解成如下形式:

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通过这种分解,我们可以比较快捷的算出矩阵的幂运算,如:Linear Algebra笔记(5):20-26   特征值与特征向量 特殊矩阵等等各种经典求法

 

六、差分方程的矩阵解法

将差分问题归纳成矩阵形式,通解为

Linear Algebra笔记(5):20-26   特征值与特征向量 特殊矩阵等等各种经典求法
其中x为矩阵A的特征向量

七、微分方程的矩阵解法

 

与差分方程类似,微分方程的通解为: Linear Algebra笔记(5):20-26   特征值与特征向量 特殊矩阵等等各种经典求法

八、马尔可夫矩阵

(概率论为基础)

矩阵形式如下(例子),矩阵特点为:

  1. 每个元素≥0;
  2. 每列的和为1;
  3. 必有一个特征值为1,且其他特征值的绝对值<1;
  4. 该矩阵特征值与其转置矩阵特征值相同,但是特征向量不同。

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证明为什么特征值必有一个为1Linear Algebra笔记(5):20-26   特征值与特征向量 特殊矩阵等等各种经典求法
可以看出,上述等式中,第一行为第二行和第三行的线性组合

因此该矩阵为奇异矩阵,行列式为0,因此1为该矩阵一个特征值。

九、对称矩阵特征值性质

  1.  对称矩阵的特征值一定为实数
  2. 对称矩阵的特征向量一定正交
  3. 对称矩阵经过初等变换,得到上三角矩阵,此时主元符号与特征值符号的个数完全相同(即有x个主元为负数,即有x个特征值为负)

 

最后一条性质的应用:若让对称矩阵S平移n个单位即(S-nI),此时若有m个主元符号变了,即说明:矩阵S有m个特征值小于n


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