特征值与特征向量
一、定义
当一个矩阵乘法不改变一个向量的方向、只改变其长度时，我们可以表示为
Ax=λx
其中λ为该矩阵的一个特征值，x为该矩阵的一个特征向量
二、特殊矩阵
对于奇异矩阵A
Ax=0时，
A的零空间不为0，因此零中间中的向量即为A的特征向量，对应的特征值为0
对于投影矩阵P
若x在A的列向量上，那么Px=x，此时x为P的特征向量，特征值为1
对于单位矩阵I
任意向量为特征向量，且特征值为1
三、特征值的一些性质
1.n阶方阵A，必有n个特征值（可重复）
2.一个矩阵所有特征值的和，等于该矩阵的迹（未经过初等变换时对角线元素之和）；所有特征值的积，等于该矩阵的行列式值。
3.上三角矩阵中（未经过初等变换），对角线元素即为该矩阵的特征值。
4.矩阵越接近对称矩阵，矩阵的特征值越接近实数；矩阵越接近反对称（即A转置=-A），矩阵的特征值越接近虚数。
注：初等变换会导致矩阵特征值的改变
四、求特征值和特征向量的方法：
由于Ax=λx
所以（A-λI）x=0，即A-λI矩阵为奇异矩阵（零空间不为0），即行列式为0
所以我们先求出A-λI矩阵，再求det（A-λI）=0时λ的值
求出特征值后，再通过A-λI的零空间求出特征向量
五、方阵对角化
对于n阶方阵A可对角化的充要条件是A有n个线性无关特征向量
若A有n个线性无关特征向量，我们将特征向量分别称作
我们将这n个特征向量组成特征向量矩阵S，那么
所以，我们可以将A分解成如下形式：
通过这种分解，我们可以比较快捷的算出矩阵的幂运算，如：
六、差分方程的矩阵解法
将差分问题归纳成矩阵形式，通解为
其中x为矩阵A的特征向量
七、微分方程的矩阵解法
与差分方程类似，微分方程的通解为： 
八、马尔可夫矩阵
（概率论为基础）
矩阵形式如下（例子），矩阵特点为：
- 每个元素≥0；
- 每列的和为1；
- 必有一个特征值为1，且其他特征值的绝对值＜1；
- 该矩阵特征值与其转置矩阵特征值相同，但是特征向量不同。
证明为什么特征值必有一个为1
可以看出，上述等式中，第一行为第二行和第三行的线性组合
因此该矩阵为奇异矩阵，行列式为0，因此1为该矩阵一个特征值。
九、对称矩阵特征值性质
- 对称矩阵的特征值一定为实数
- 对称矩阵的特征向量一定正交
- 对称矩阵经过初等变换，得到上三角矩阵，此时主元符号与特征值符号的个数完全相同（即有x个主元为负数，即有x个特征值为负）
最后一条性质的应用：若让对称矩阵S平移n个单位即(S-nI)，此时若有m个主元符号变了，即说明：矩阵S有m个特征值小于n
