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Linear Algebra笔记(4):17-20 正交矩阵 向量正交条件 

AI人工智能学习 尔雅学习君 3年前 (2020-02-04) 扫描二维码

正交矩阵

向量正交条件 Linear Algebra笔记(4):17-20 正交矩阵 向量正交条件 
Linear Algebra笔记(4):17-20 正交矩阵 向量正交条件 
若Q为方阵,且满足Linear Algebra笔记(4):17-20 正交矩阵 向量正交条件 
则称Q为正交矩阵(orthogonalmatrix)    Gram Schmidt正交  目的:设有线性无关向量a,b组成一个子空间,我们需要找出一组正交向量A,B,使得A,B为该子空间的一组基方法构思:一、我们设一个向量为基准,即A二、我们接下来需要找到B,使得B与A正交,即内积为0三、标准化向量A、B,即令Linear Algebra笔记(4):17-20 正交矩阵 向量正交条件 

具体算法:一、因为我们对A和B的方向没有限定,因此我们大可以选a为基准向量,即A=a;二、我们需要通过对b分解,得到与A正交的向量B,从向量投影处我们知道,p=Pb,p为b在a上的投影,而误差e为垂直于a的b的分量。因此e即为我们所求的B。即Linear Algebra笔记(4):17-20 正交矩阵 向量正交条件 
注:很明显,若A=a,则B为a和b的线性组合,因此可证B在a和b组成的向量空间中。三、标准化Linear Algebra笔记(4):17-20 正交矩阵 向量正交条件 

拓展成n个线性无关向量组成的n维空间,使用格拉姆-施密特算法算正交基Linear Algebra笔记(4):17-20 正交矩阵 向量正交条件 
这是区别于A=LU分解法的另一种分解法,A=QR,其中Q为正交矩阵,R为上三角矩阵   行列式  行列式值的算法: Linear Algebra笔记(4):17-20 正交矩阵 向量正交条件 
上述算式中,求和式中共有n的阶乘项,每项为一个子矩阵行列式的值,子矩阵形式为:每行每列只允许有一个元素不为0,其余元素为0   行列式性质  1.单位矩阵I的行列式为1,detI=1;2.交换行后,行列式值取负,交换奇数次行列式值为负,交换偶数次行列式值为正;3. Linear Algebra笔记(4):17-20 正交矩阵 向量正交条件 

以上三个性质为最基础的性质,后面的性质都是从前三个性质推导而来
4.若两行相等,行列式值为0;5.消元后,行列式值不变;6.一行为零行,则行列式值为0;7.当矩阵为上三角矩阵时,行列式值为主元的积;8.A为奇异矩阵,当且仅当行列式值为0;A可逆(非奇异矩阵),当且仅当行列式值不为0;9.Linear Algebra笔记(4):17-20 正交矩阵 向量正交条件 由此可以推导出逆矩阵的行列式Linear Algebra笔记(4):17-20 正交矩阵 向量正交条件 
矩阵平方后以及矩阵翻倍后的行列式Linear Algebra笔记(4):17-20 正交矩阵 向量正交条件 
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10.矩阵转置,行列式不变。   代数余子式  Linear Algebra笔记(4):17-20 正交矩阵 向量正交条件 
其中Cij即原矩阵剔除第i行,第j列后,剩下的矩阵的行列式的值 行列式的值,为矩阵中某一行元素的代数余子式的和Linear Algebra笔记(4):17-20 正交矩阵 向量正交条件 
通过代数余子式求逆矩阵方法Linear Algebra笔记(4):17-20 正交矩阵 向量正交条件 
其中C为伴随矩阵,C中元素均为代数余子式,Linear Algebra笔记(4):17-20 正交矩阵 向量正交条件 
证明:Linear Algebra笔记(4):17-20 正交矩阵 向量正交条件 注:不是对应行的代数余子式相加为0,即Linear Algebra笔记(4):17-20 正交矩阵 向量正交条件 
因为上式等价于一个i行与m行相同的矩阵的行列式的值由行列式性质可知,当矩阵不可逆时,行列式为0    克拉默法则  Ax=b时Linear Algebra笔记(4):17-20 正交矩阵 向量正交条件 
其中,Cb可以等价于某一行为b的A矩阵的行列式值所以Linear Algebra笔记(4):17-20 正交矩阵 向量正交条件 
注:用代数余子式求逆,以及求Ax=b的解,只是为其提供了代数形式,但是运算量庞大,所以“中看不中用”,计算时不建议使用 补充:1.三对角线矩阵,n为方阵阶数时,行列式有如下关系式Linear Algebra笔记(4):17-20 正交矩阵 向量正交条件 
2.detA来计算体积、面积2阶可逆矩阵A,detA为A中向量围成的平行四边形的面积;3阶可逆矩阵A,detA为A中向量围城的长方体的体积


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