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Linear Algebra笔记(3):11-16 向量的乘积 投影矩阵

AI人工智能学习 尔雅学习君 3年前 (2020-02-04) 扫描二维码

1.所有秩1矩阵都可以表示为两个向量的乘积
Linear Algebra笔记(3):11-16 向量的乘积 投影矩阵
2.rank(A+B)≤rank(A)+rank(B)   rank(AB)≤min{r(A),r(B)}3.Ax=b,特解只需要一个即可,其他可由X=Xp+cXn求出4.当C为可逆矩阵时, N(CD)=N(D)由此可得,r(CD)=r(D),r(DC)=r(D)证明:Linear Algebra笔记(3):11-16 向量的乘积 投影矩阵
5.向量X的长度可以表示为Linear Algebra笔记(3):11-16 向量的乘积 投影矩阵
6. Linear Algebra笔记(3):11-16 向量的乘积 投影矩阵7. Linear Algebra笔记(3):11-16 向量的乘积 投影矩阵
小世界图  m*n矩阵(incidencematrix),m为边,n为点,设m=5,n=4,边标记为e1,e2,……e5,点标记为p1,p2,……p4若e1边为p1指向p2,则在矩阵元素a11处,取值为-1,a12处,取值为1若“行“线性相关,则表示形成了回路,因此n个线性无关行代表这n行所表示的边无法形成回路Linear Algebra笔记(3):11-16 向量的乘积 投影矩阵
A转置的零空间的维数代表回路数量,m代表边数,r代表(点的个数-1)点的个数-边的条数+回路数=1,这就是著名的欧拉公式   子空间投影与最小二乘  b为坐标系中某点,a为一条过原点的直线,取b在a上的投影为p,b与p的距离为eLinear Algebra笔记(3):11-16 向量的乘积 投影矩阵
因为e与a正交,因此Linear Algebra笔记(3):11-16 向量的乘积 投影矩阵
p在a上,因此p一定为x倍的a,所以p=xa那么上式变为Linear Algebra笔记(3):11-16 向量的乘积 投影矩阵
由于x为某实数,因此上式可变为Linear Algebra笔记(3):11-16 向量的乘积 投影矩阵
注:由于x是一个数,所以并不能进行约分Linear Algebra笔记(3):11-16 向量的乘积 投影矩阵
其中,大写的P为投影矩阵,意义在于将b投影在a上转为p,且P中,分子为一个矩阵,分母为一个数 上述推导拓展成n维,即解决当Ax=b无解时,如何求得最优解的问题即把Ax=b中的b,投影在A的列空间中,得到Linear Algebra笔记(3):11-16 向量的乘积 投影矩阵
注:上式中的A为矩阵的列空间的基形成的矩阵,矩阵中的列均线性无关 Linear Algebra笔记(3):11-16 向量的乘积 投影矩阵
注:上式中逆矩阵不能拆开,因为A不是可逆矩阵 我们经常用上式进行最小二乘寻求最优解所谓最小二乘就是令已知点投影在矩阵的列空间中由于投影后的点与已知点的距离,即为该点到列空间的最小距离我们也称之为误差由于是最小距离,所以得到的列空间上的投影与原向量误差最小所以我们经常使用最小二乘法来求得当b投影到列空间上p后,此时p对应的x的取值
即求:Ax=b中,若要b有解(在列空间上),又要误差最小,即b变为p,然后解Ax=p,得到此时x的取值方法如下:Linear Algebra笔记(3):11-16 向量的乘积 投影矩阵
投影矩阵P的两条重要性质1.P为对称矩阵 Linear Algebra笔记(3):11-16 向量的乘积 投影矩阵
2.由于b乘一次P矩阵得到的p在列空间中,因此p再乘一次P矩阵进行列空间投影,得到的结果依然是p,因此 Linear Algebra笔记(3):11-16 向量的乘积 投影矩阵

左零空间与列空间正交,行空间与零空间正交,且分别分割了m维全空间,和n维全空间将b投影在列空间上的投影矩阵是P,那么将b投影在左零空间上的投影矩阵为(I-P)


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