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Single Variable Calculus笔记(2):12-18  中值定理 定积分 不定积分 微积分基本定理

AI人工智能学习 尔雅学习君 3年前 (2020-02-27) 扫描二维码

牛顿迭代法  举一个例子,若求根号5的值,我们可以设一个函数,关系如下:

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函数值等于0时,x即为所求下面利用牛顿迭代法估算x的近似值首先我们大概可以知道根号5比较接近整数2,所以我们在函数图像上点(2,f(2))处做切线,求切线与x轴的交点,我们将x=2设为x0,将要求的交点坐标设为(x1,0):Single Variable Calculus笔记(2):12-18  中值定理 定积分 不定积分 微积分基本定理
x1即为所求,然后我们再在图像上点(x1,f(x1))处做切线,与x轴交于x2点,则交点x的取值越来越接近根号5,这就是牛顿迭代法,标准式如下:Single Variable Calculus笔记(2):12-18  中值定理 定积分 不定积分 微积分基本定理
注意:1.为了保证误差小,f'(x)的取值不能太小,且不能等于0;2.为了保证函数曲线弯曲小(即切线距离曲线更近),f”(x)的取值不能太大;3.x0尽量接近要求的数,即初始误差E0<1   中值定理  中值定理的意义为:平均变化率在最大变化率和最小变化率之间举个实际例子,即在A地开车前往B地的途中,一定有某一刻的速度等于此次行车的平均速度代数表达式如下:Single Variable Calculus笔记(2):12-18  中值定理 定积分 不定积分 微积分基本定理
且须满足条件,f在(a,b)上可导且在[a,b]上连续注意:连续函数可导条件为左右偏导数皆存在且相等   证明不等式  例如下:Single Variable Calculus笔记(2):12-18  中值定理 定积分 不定积分 微积分基本定理

不定积分  若F’=G’那么F(x)=G(x)+c其中c为常数,无法确定具体数值,因此这种积分叫做不定积分表达式如下:

 

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换元法   Single Variable Calculus笔记(2):12-18  中值定理 定积分 不定积分 微积分基本定理

分离变量法  已知y关于x的导函数为

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求y:

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定积分  黎曼和求函数(a,b)区间内,曲线下与x轴围成的图形面积黎曼将b-a分成了n份,每份长度均为Δx以Δx为宽,形成的长方形,长为y(分为左黎曼和与右黎曼和,左黎曼和为取Δx左边x值对应的y,右黎曼和相反)再将所有矩形面积相加,有如下表达式:

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当n趋近于无穷,Δx趋近于0时,即接近该曲线下图形面积这个方法成为黎曼和 补充:梯形法与黎曼和类似,只不过从长方形变为梯形,则更近似于曲线,结果也比黎曼和更精确依然将b-a分成n份,每份为Δx以Δx为高,上下底分别为y0,y1,有梯形公式可以得出梯形面积,再将梯形面积相加,如下:

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注意:不难看出,通过梯形法得出来的面积公式,为左黎曼和与右黎曼和的平均值 定积分表达式

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微积分基本定理  第一基本定理若函数f连续,且在x到a区间上积分为F(x),那么可以得出F(x)的导函数即为f(x)

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第二基本定理若函数F连续,且导函数为f,那么f在(a,b)区间上的积分为F(b)-F(a)

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一些其他定理

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