• 关注公众号 喵查铺子 一键查题~

2022智慧树知到 Linear Algebra笔记 (6):27-29 正定矩阵 复数矩阵 快速傅里叶变换 多维图像的最小值问题等 章节测试答案

AI人工智能学习 尔雅学习君 3年前 (2020-02-13) 扫描二维码
文章目录[隐藏]

关于特征值补充一点:逆矩阵的特征值为原矩阵特征值的倒数

 

正定矩阵

正定矩阵性质:

1.一定是对称矩阵,即特征值一定为实数;

2.特征值一定大于0;

3.所有子行列式都大于0(即保证特征值大于0)。

4.若A正定,B正定,则A+B正定

复数矩阵

复数向量z,z转置与z的内积不再表示为向量长度的平方,因为为复数,而平方必为正数。

因此,复数矩阵计算内积时,需要在转置矩阵的基础上将元素全变为其共轭数,即2022智慧树知到 Linear Algebra笔记 (6):27-29  正定矩阵 复数矩阵 快速傅里叶变换 多维图像的最小值问题等 章节测试答案
其中上角标H为埃尔米算符(Hermite),代表(转置+共轭)运算
类似的,复数向量及复数矩阵标准正交的条件

2022智慧树知到 Linear Algebra笔记 (6):27-29  正定矩阵 复数矩阵 快速傅里叶变换 多维图像的最小值问题等 章节测试答案
其中Q的共轭转置矩阵称作酉矩阵(unitarymatrix),满足条件:

2022智慧树知到 Linear Algebra笔记 (6):27-29  正定矩阵 复数矩阵 快速傅里叶变换 多维图像的最小值问题等 章节测试答案

快速傅里叶变换

 

快速傅里叶矩阵形式如下

 

2022智慧树知到 Linear Algebra笔记 (6):27-29  正定矩阵 复数矩阵 快速傅里叶变换 多维图像的最小值问题等 章节测试答案
其中:

 

2022智慧树知到 Linear Algebra笔记 (6):27-29  正定矩阵 复数矩阵 快速傅里叶变换 多维图像的最小值问题等 章节测试答案
这其中用到了欧拉公式:

 

2022智慧树知到 Linear Algebra笔记 (6):27-29  正定矩阵 复数矩阵 快速傅里叶变换 多维图像的最小值问题等 章节测试答案

简化傅里叶矩阵的计算量
即把傅里叶矩阵分解成如下形式:

2022智慧树知到 Linear Algebra笔记 (6):27-29  正定矩阵 复数矩阵 快速傅里叶变换 多维图像的最小值问题等 章节测试答案
其中64阶傅里叶矩阵的计算量为64的平方,分解成三个矩阵形式后,计算量减少,其中32阶傅里叶矩阵可以继续分解,最终n阶傅里叶矩阵最简计算次数为:

2022智慧树知到 Linear Algebra笔记 (6):27-29  正定矩阵 复数矩阵 快速傅里叶变换 多维图像的最小值问题等 章节测试答案

多维图像的最小值问题

 

若图像存在最小值,则该方程的二阶导数矩阵正定以2阶为例:2022智慧树知到 Linear Algebra笔记 (6):27-29  正定矩阵 复数矩阵 快速傅里叶变换 多维图像的最小值问题等 章节测试答案
其中2阶方阵为其二阶导数矩阵(2为对x1求导2次,6为先对x1求偏导,再对x2求偏导,第二行的6为先对x2求偏导,再对x1求偏导,以此类推)

可以看出规律,二阶导数矩阵形式总结为:

2022智慧树知到 Linear Algebra笔记 (6):27-29  正定矩阵 复数矩阵 快速傅里叶变换 多维图像的最小值问题等 章节测试答案
其中f为对下角标所示的x依次求偏导而方程组的代数形式与矩阵形式的关系为2022智慧树知到 Linear Algebra笔记 (6):27-29  正定矩阵 复数矩阵 快速傅里叶变换 多维图像的最小值问题等 章节测试答案
其中A为二阶导数矩阵,若正定,则该方程有最小值。

我们可以用该方法证明m×n的线性无关矩阵A,A转置与A的内积所形成的对称矩阵一定正定,证法如下:

 

2022智慧树知到 Linear Algebra笔记 (6):27-29  正定矩阵 复数矩阵 快速傅里叶变换 多维图像的最小值问题等 章节测试答案
上式可以正是方程组代数形式表示法,因为结果不小于0,所以该矩阵乘法表示的方程组有最小值,因此该对称矩阵一定正定

 

  相似矩阵

若n阶方阵A与n阶方阵B有如下关系:

2022智慧树知到 Linear Algebra笔记 (6):27-29  正定矩阵 复数矩阵 快速傅里叶变换 多维图像的最小值问题等 章节测试答案
其中M为某可逆矩阵,那么A和B相似其实相似就是利用不同的基来表示相同的向量(即将矩阵的子空间换了一组基所形成的新矩阵) 相似矩阵性质:

1.两矩阵相似,则特征值相同;

2.两矩阵相似,线性无关特征向量的数量相等;

3.由于线性无关特征向量数量相等,那么若A可对角化,则与A相似的B一定可对角化。

证明:为什么相似矩阵特征值相同:

2022智慧树知到 Linear Algebra笔记 (6):27-29  正定矩阵 复数矩阵 快速傅里叶变换 多维图像的最小值问题等 章节测试答案

约当标准型

 

若两矩阵相似于统一对角矩阵,则两矩阵相似。但实际上大部分矩阵不满足可对角化条件,因此我们可以将其化成约当标准型,即:

2022智慧树知到 Linear Algebra笔记 (6):27-29  正定矩阵 复数矩阵 快速傅里叶变换 多维图像的最小值问题等 章节测试答案
除了对角线上元素为特征值、对角线上一斜行元素均为1外,其余元素均为0的矩阵

这是最接近对角矩阵的形态,这种形式的矩阵也成为“约当块”约当矩阵:2022智慧树知到 Linear Algebra笔记 (6):27-29  正定矩阵 复数矩阵 快速傅里叶变换 多维图像的最小值问题等 章节测试答案
其中每个带下角标的J都是一个约当块但是注意,以下两个矩阵并不相似2022智慧树知到 Linear Algebra笔记 (6):27-29  正定矩阵 复数矩阵 快速傅里叶变换 多维图像的最小值问题等 章节测试答案
虽然两个矩阵的特征值均为0,线性无关数也相同。但是第一个矩阵的约当块为一个3阶方阵和一个1阶方阵,第二个矩阵的约当块为两个2阶方阵,因此不相似


联系邮箱:oqcvvz[at]163[dot]com
喜欢 (0)
尔雅学习君
关于作者:
发表我的评论
取消评论
表情 贴图 加粗 删除线 居中 斜体 签到

Hi,您需要填写昵称和邮箱!

  • 昵称 (必填)
  • 邮箱 (必填)
  • 网址