设f（x)在[a，b]上连续，在（a，b)内二阶可导，f（a)＝f（b)＝0，证明：（I)存在εi∈（a，b)，使得f（εi)＝f〞（εi)（i＝

题目：设f（x)在[a，b]上连续，在（a，b)内二阶可导，f（a)＝f（b)＝0，证明：（I)存在εi∈（a，b)，使得f（εi)＝f〞（εi)（i＝

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)＝f(b)＝0，
证明：
(I)存在εi∈(a，b)，使得f(εi)＝f〞(εi)(i＝1，2)；
(Ⅱ)存在η∈(a，b)，使得f(η)＝f〞(η)．

(I)令F(x)＝F(a)＝F(b)＝0由罗尔定理存在c∈(ab)使得Fˊ(c)＝0即f(c)＝0．令h(x)＝e^－xf(x)则h(a)＝h(c)＝h(b)＝0由罗尔定理存在ε₁∈(ac)ε₂∈(cb)使得hˊ(ε₁)＝hˊ(ε₂)＝0而hˊ(x)＝e^－x[fˊ(x)－f(x)]且e^－x≠0所以f(ε_i)＝fˊ(ε_i)(i＝12)．(Ⅱ)令H(x)＝e^x[fˊ(x)－f(x)]Hˊ(x)＝e^x[f〞(x)－f(x)]．H(ε₁)＝H(ε₂)＝0由罗尔定理存在η∈(ε₁ε₂)∈(ab)使得Hˊ(η)＝0注意到e^x≠0所以f(η)＝f〞(η)．
(I)令F(x)＝F(a)＝F(b)＝0，由罗尔定理，存在c∈(a，b)，使得Fˊ(c)＝0，即f(c)＝0．令h(x)＝e^－xf(x)，则h(a)＝h(c)＝h(b)＝0，由罗尔定理，存在ε₁∈(a，c)，ε₂∈(c，b)，使得hˊ(ε₁)＝hˊ(ε₂)＝0，而hˊ(x)＝e^－x[fˊ(x)－f(x)]且e^－x≠0，所以f(ε_i)＝fˊ(ε_i)(i＝1，2)．(Ⅱ)令H(x)＝e^x[fˊ(x)－f(x)]，Hˊ(x)＝e^x[f〞(x)－f(x)]．H(ε₁)＝H(ε₂)＝0，由罗尔定理，存在η∈(ε₁，ε₂)∈(a，b)，使得Hˊ(η)＝0，注意到e^x≠0，所以f(η)＝f〞(η)．